Пусть  A₁, B₁, C₁ и D₁ — середины сторон  CD, DA, AB, BC квадрата ABCD, площадь которого равна S. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми  AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁.

   Решение

В игре Тантрикс-солитер возможны фишки 14 типов:

Каждую из них можно поворачивать, но нельзя переворачивать: именно поэтому первые 2 фишки разные – их нельзя получить друг из друга поворотом. Их разрешается прикладывать друг к другу так, чтобы линии одного цвета были продолжениями друг друга. У Саши было по одной фишке каждого типа, и он мог выложить их так, чтобы все синие линии образовывали «петлю», и при этом чтобы в картинке не было «дырок»:

Саша потерял фишку . Докажите, что теперь он не сможет выложить оставшиеся 13 фишек так, чтобы в картинке не было «дырок», а все синие линии образовывали петлю.

   Решение

а) Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник.
б) Из медиан треугольника ABC составлен треугольник A₁B₁C₁, а из медиан треугольника A₁B₁C₁ составлен треугольник A₂B₂C₂. Докажите, что треугольники ABC и A₂B₂C₂ подобны, причем коэффициент подобия равен 3/4.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

M₁, M₂,..., M₆ — середины сторон выпуклого шестиугольника A₁A₂...A₆. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам M₁M₂, M₃M₄, M₅M₆.

Прислать комментарий

Решение

Стороны треугольника T параллельны медианам треугольника T₁. Докажите, что медианы треугольника T параллельны сторонам треугольника T₁.

Прислать комментарий

Решение

Из произвольной внутренней точки O выпуклого n-угольника опущены перпендикуляры на стороны (или их продолжения). На каждом перпендикуляре от точки O по направлению к стороне построен вектор, длина которого равна половине длины той стороны, на которую опущен перпендикуляр. Определить сумму построенных векторов.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник.
б) Из медиан треугольника ABC составлен треугольник A₁B₁C₁, а из медиан треугольника A₁B₁C₁ составлен треугольник A₂B₂C₂. Докажите, что треугольники ABC и A₂B₂C₂ подобны, причем коэффициент подобия равен 3/4.

Прислать комментарий

Решение

Из точки, лежащей внутри выпуклого n-угольника, проведены лучи, перпендикулярные его сторонам и пересекающие стороны (или их продолжения). На этих лучах отложены векторы a₁,...,a_n, длины которых равны длинам соответствующих сторон. Докажите, что a₁ +...+ a_n = 0.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]