Числа a и b таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов  x² + ax + b  и  x² + bx + a  имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.

   Решение

Восстановите прямоугольный треугольник ABC  (∠C = 90°)  по вершинам A, C и точке на биссектрисе угла B .

   Решение

Точки A, B, C лежат на прямой l, а точки A₁, B₁, C₁ — на прямой l₁. Докажите, что точки пересечения прямых AB₁ и BA₁, BC₁ и CB₁, CA₁ и AC₁ лежат на одной прямой (Папп).

   Решение

Даны два треугольника $ABC$ и $A'B'C'$. Прямые $AB$ и $A'B'$ пересекаются в точке $C_1$, а параллельные им прямые, проходящие через $C$ и $C'$, соответственно, в точке $C_2$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

   Решение

Прямые a, b, c пересекаются в одной точке O. В треугольниках A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ вершины A₁ и A₂ лежат на прямой a; B₁ и B₂ — на прямой b; C₁ и C₂ — на прямой c. A, B, C — точки пересечения прямых B₁C₁ и B₂C₂, C₁A₁ и C₂A₂, A₁B₁ и A₂B₂ соответственно. Докажите, что точки A, B, C лежат на одной прямой (Дезарг).

   Решение

Дана правильная треугольная пирамида BCDE ( B – вершина, CDE – основание). Известно, что CD = a , BC = b . Пирамиду пересекает плоскость γ , параллельная рёбрам BC и DE . На каком расстоянии от ребра DE должна быть проведена плоскость γ , чтобы площадь сечения пирамиды этой плоскостью была наибольшей?

   Решение

Решите уравнение cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) .

   Решение

Даны три квадратных трёхчлена:  x² + b₁x + c₁,  x² + b₂x + c₂  и  x² + ½ (b₁ + b₂)x + ½ (c₁ + c₂).  Известно, что их сумма имеет корни (возможно, два совпадающих). Докажите, что хотя бы у двух из этих трёхчленов также есть корни (возможно, два совпадающих).

   Решение

Точки A₁, B₁, C₁ лежат соответственно на сторонах BC, AC, AB треугольника ABC, причём отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке K.
Докажите, что     и  

   Решение

Для квадратного трёхчлена  f(x) и некоторых действительных чисел l, t и v выполнены равенства:  f(l) = t + v,  f(t) = l + v,  f(v) = l + t.
Докажите, что среди чисел l, t и v есть равные.

   Решение

Даны различные действительные числа a, b, с. Докажите, что хотя бы два из уравнений  (x – a)(x – b) = x – c,  (x – b)(x – c) = x – a,
(x – c)(x – a) = x – b  имеют решение.

   Решение

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 172]      

Точки A₁, B₁, C₁ лежат соответственно на сторонах BC, AC, AB треугольника ABC, причём отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке K.
Докажите, что     и  

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC проведены высоты AE и CD. Найдите сторону AB, если BD = 18, BC = 30, AE = 20.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M, N и K так, что  AM : MB = 2 : 3,  AK : KC = 2 : 1,  BN : NC = 1 : 2.  В каком отношении прямая MK делит отрезок AN?

Прислать комментарий

Решение

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.

Прислать комментарий

Решение

Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону.
Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 172]