Задача 55023

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M, N и K так, что  AM : MB = 2 : 3,  AK : KC = 2 : 1,  BN : NC = 1 : 2.  В каком отношении прямая MK делит отрезок AN?

Подсказка

Пусть P – точка пересечения прямой MK с отрезком AN. Выразите площади треугольников AMP, AKP и ABC через S_ABC и ^AP/_AN.

Решение

  Пусть P – точка пересечения прямой MK с отрезком AN. Обозначим  ^AP/_AN = x  и  S_ABC = S.  Тогда   S_AMP = ⅖·x·S_ABN = ^2x/₅·^S/₃ = ^2xS/₁₅,  S_AKP = ⅔·x·S_ACN = ^4xS/₉,  S_AMK = ⅖·⅔ S = ^4S/₁₅.
  Поскольку  S_AMK = S_AMP + S_AKP,  то  ^2x/₁₅ + ^4x/₉ = ⁴/₁₅,  откуда x = ⁶/₁₃.  Следовательно,  AP : PN = 6 : 7.

Ответ

6 : 7,  считая от точки A.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3079