Отрезок MN, параллельный стороне CD четырехугольника ABCD, делит его площадь пополам (точки M и N лежат на сторонах BC и AD). Длины отрезков, проведенных из точек A и B параллельно CD до пересечения с прямыми BC и AD, равны a и b. Докажите, что  MN² = (ab + c²)/2, где c = CD.

   Решение

M – множество точек на плоскости. Точка O называется "почти центром симметрии" множества M, если из M можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества O является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?

   Решение

Косинус угла между скрещивающимися прямыми AB и CD равен . Точки E и F являются серединами отрезков AB и CD соответственно, а прямая EF перпендикулярна прямым AB и CD . Найдите угол ACB , если известно, что AB = 2 , CD = 2 , EF = .

   Решение

В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединён ровно с пятью другими?

   Решение

На плоскости даны две прямые и точка M. Найдите на одной из прямых такую точку X, что отрезок MX делится другой прямой пополам.

   Решение

На доске размером 8×8 в углу расставлены 9 фишек в форме квадрата 3×3. Любая фишка может прыгать через другую фишку на свободную клетку (по горизонтали, вертикали или диагонали). Можно ли за некоторое количество прыжков расставить фишки в форме такого же квадрата в каком-либо другом углу доски?

   Решение

На доске $6\times6$ расставили шесть не угрожающих друг другу ладей. Затем каждое не занятое ладьёй поле покрасили по такому правилу: если ладьи, угрожающие этому полю, находятся от него на одинаковом расстоянии, то это поле закрашивают в красный цвет, а если на разном – то в синий цвет. Могли ли все не занятые поля оказаться
  а) красными;
  б) синими?

   Решение

Все грани призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ касаются некоторого шара. Основанием призмы служит квадрат ABCD со стороной, равной 5. Угол C₁CD ─ острый, а ∠C₁CB = arctg ⁵⁄₃. Найдите ∠C₁CD, угол между боковым ребром и плоскостью основания призмы, а также расстояние от точки C до точки касания шара с плоскостью AA₁D.

   Решение

В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга (в этом классе), 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей?

   Решение

Найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой a, а плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плоскости основания.

   Решение

Вдоль двух прямолинейных парковых аллеек посажены пять дубов — по три вдоль каждой аллеи. Где посадить шестой дуб так, чтобы можно было проложить еще две прямолинейные аллеи, вдоль каждой из которых росло бы тоже по три дуба?

   Решение

Окружность, построенная на биссектрисе AD треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC соответственно в точках M и N, отличных от A. Докажите, что  AM = AN.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1284]      

Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD.

Прислать комментарий

Решение

Окружность разделена точками A, B, C, D так, что  ⌣AB : ⌣BC : ⌣CD : ⌣DA = 2 : 3 : 5 : 6.  Проведены хорды AC и BD, пересекающиеся в точке M.
Найдите угол AMB.

Прислать комментарий

Решение

Окружность разделена точками A, B, C, D так, что  ⌣AB : ⌣ BC : ⌣ CD : ⌣ DA = 3 : 2 : 13 : 7.  Хорды AD и BC продолжены до пересечения в точке M.
Найдите угол AMB.

Прислать комментарий

Решение

На катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу AB в точке K.
Найдите CK, если  AC = 2  и  ∠A = 30°.

Прислать комментарий

Решение

Окружность, построенная на биссектрисе AD треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC соответственно в точках M и N, отличных от A. Докажите, что  AM = AN.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1284]