Дан квадрат ABCD. На стороне AD внутрь квадрата построен равносторонний треугольник ADE. Диагональ AC пересекает сторону ED этого треугольника в точке F. Докажите, что  CE = CF.

   Решение

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Пусть $P$ – точка пересечения его диагоналей, а точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность $OPM$ вторично пересекает отрезки $AP$ и $BP$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно, а окружность $OPN$ вторично пересекает отрезки $CP$ и $DP$ в точках $C_1$ и $D_1$ соответственно. Докажите, что площади четырёхугольников $AA_1B_1B$ и $CC_1D_1D$ равны.

   Решение

AA₁ и BB₁ – высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что:
  а) треугольник AA₁C подобен треугольнику BB₁C;
  б) треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C.
  в) Найдите коэффициент подобия треугольников A₁B₁C и ABC, если  ∠C = γ.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 60]      

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что  A₁C·BC = B₁C·AC.

Прислать комментарий

Решение

Пусть AA₁ и BB₁ – высоты треугольника ABC. Докажите, что треугольники A₁B₁C и ABC подобны. Чему равен коэффициент подобия?

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что
  а) касательная в точке A к описанной окружности параллельна прямой B₁C₁;
  б)  B₁C₁ ⊥ OA,  где O – центр описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

AA₁ и BB₁ – высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что:
  а) треугольник AA₁C подобен треугольнику BB₁C;
  б) треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C.
  в) Найдите коэффициент подобия треугольников A₁B₁C и ABC, если  ∠C = γ.

Прислать комментарий

Решение

Сторона треугольника равна   ,   углы, прилежащие к ней, равны 75° и 60°.
Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 60]