В треугольник, основание которого равно 48, а высота – 16, вписан прямоугольник с отношением сторон  5 : 9,  причём большая сторона лежит на основании треугольника. Найдите стороны прямоугольника.

   Решение

Докажите, что биссектрисы равностороннего треугольника делятся точкой пересечения в отношении  2 : 1,  считая от вершины треугольника.

   Решение

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., n. За один ход разрешается поменять местами любые два числа.
Может ли после 1989 таких операций порядок чисел оказаться исходным?

   Решение

На клетчатой бумаге нарисован квадрат 7×7. Покажите, как разрезать его по линиям сетки на шесть частей и сложить из них три квадрата.

   Решение

Докажите, что:
а)  m_a² = (2b² + 2c² - a²)/4;
б)  m_a² + m_b² + m_c² = 3(a² + b² + c²)/4.

   Решение

Найдите значение выражения 1!*3-2!*4+3!*5-4!*6+...-2000!*2002+2001!.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

Даны 10 различных положительных чисел. В каком порядке их нужно обозначить a₁, a₂, ... , a₁₀, чтобы сумма a₁+2a₂+3a₃+...+10a₁₀ была наибольшей?

Прислать комментарий

Решение

Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, ... выбрать (сохраняя порядок) сто чисел, из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих?

Прислать комментарий

Решение

Дано 100 положительных чисел, сумма которых равна S. Известно, что каждое из чисел меньше, чем S/99. Докажите, что сумма любых двух из этих чисел больше, чем S/99.

Прислать комментарий

Решение

Найдите значение выражения 1!*3-2!*4+3!*5-4!*6+...-2000!*2002+2001!.

Прислать комментарий

Решение

Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$, что $m^2+n$ и $n^2+m$ одновременно являются квадратами?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]