Каталог по темам

Выбрано 9 задач

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника ABCDE отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пятиугольника ABCDE.

Решение

Одно трехзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трехзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?

Решение

Цифры 1, 2, ..., 9 разбили на три группы. Докажите, что произведение чисел в одной из групп не меньше 72.

Решение

Каким линейным рекуррентным соотношениям удовлетворяют последовательности

a) a_n = n²; б) a_n = n³?

Решение

Доказать, что (1 + ⅓)(1 + ⅛)(1 + ¹/₁₅)...(1 + ¹/_n²+2n) < 2 при любом натуральном n.

Решение

Решите в целых числах неравенство: x² < 3 – 2cos πx.

Решение

Среди n рыцарей каждые двое – либо друзья, либо враги. У каждого из рыцарей ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами.
При каких n такое возможно?

Решение

Назовём геометрико-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {a_n} и {b_n}, построенных по правилу

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

Обозначим его через ν(a, b). Докажите, что величина ν(a, b) связана с μ(a, b) (см. задачу 61322) равенством ν(a, b)·μ(¹/_a, ¹/_b) = 1.

Решение

Имеется три комплекта домино разного цвета. Как выложить в цепочку (по правилам домино) все эти три комплекта так, чтобы каждые две соседние доминошки имели разный цвет?

Решение

Задача 35167

Задача 35578

Задача 78602

Задача 35294

Задача 35791