Версия для печати
Убрать все задачи
Докажите, что на координатной плоскости можно провести окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.
Решение
Решите систему уравнений:
x² + 4sin²y – 4 = 0,
cos x – 2cos²y – 1 = 0.
Решение
Матч между двумя футбольными командами закончился со
счетом 8:5. Доказать, что был момент, когда первая команда забила
столько же мячей, сколько второй оставалось забить.
Решение
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$.
Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$.
Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.
Решение
Петя и Вася нарисовали по четырёхугольнику без параллельных сторон. Каждый провёл в своём четырёхугольнике одну из диагоналей и вычислил углы, образованные этой диагональю со сторонами своего четырёхугольника. Петя получил числа α, α, β и γ (в некотором порядке), и Вася – тоже эти числа (возможно, в другом порядке). Докажите, что диагонали четырёхугольника Пети пересекаются под теми же углами, что и диагонали четырёхугольника Васи.
Решение
Выйдя на маршрут в 4 часа утра, альпинист Джеф Лоу к вечеру достиг
пика "Свободная Корея". Переночевав на вершине, на следующий день он вышел
в то же время и быстро спустился обратно по пути подъема. Докажите, что
на маршруте есть такая точка, которую Лоу во время спуска и во время подъема
проходил в одно и то же время суток.
Решение
Фильтр
