Каталог по темам

Выбрано 6 задач

Заполните свободные клетки "шестиугольника" (см. рисунок) целыми числами от 1 до 19 так, чтобы во всех вертикальных и диагональных рядах сумма чисел, стоящих в одном ряду, была бы одна и та же.

Решение

Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках O₁ и O₂. Пусть a₁ и a₂ — внутренние касательные к этим окружностям, a₃ и a₄ — внешние касательные к ним. Пусть, далее, a₅ и a₆ — касательные к окружности с центром в O₁, проведённые из точки O₂, a₇ и a₈ — касательные к окружности с центром в точке O₂, проведённые из точки O₁. Обозначим через O точку пересечения a₁ и a₂. Доказать, что с центром в точке O можно провести две окружности так, чтобы первая касалась a₃ и a₄, вторая касалась a₅, a₆, a₇, a₈, причём радиус второй в два раза меньше радиуса первой.

Решение

Числа a₁, a₂, ..., a_k таковы, что равенство

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$ (x_n + a₁x_{n - 1} +...+ a_kx_{n - k}) = 0

возможно только для тех последовательностей {x_n}, для которых $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ x_n = 0. Докажите, что все корни многочлена

P( $\displaystyle \lambda$ ) = $\displaystyle \lambda^{k}_{}$ + a₁ $\displaystyle \lambda^{k-1}_{}$ + a₂ $\displaystyle \lambda^{k-2}_{}$ +...+ a_k

по модулю меньше 1.

Решение

Найдите расстояние от центра окружности радиуса 10 до хорды, равной 12.

Решение

Дан треугольник ABC. Пусть A₁, B₁, C₁ — точки пересечения прямых AS, BS, CS соответственно со сторонами BC, CA, AB треугольника, где S — произвольная внутренняя точка треугольника ABC. Доказать, что, по крайней мере, в одном из полученных четырёхугольников AB₁SC₁, C₁SA₁B, A₁SB₁C углы при вершинах C₁, B₁, или C₁, A₁, или A₁, B₁ &8212; одновременно оба неострые.

Решение

Чётно или нечётно число 1 + 2 + 3 + ... + 1990?

Решение

Задача 89919

Задача 30289

Задача 30290

Задача 30934

Задача 30937