Версия для печати
Убрать все задачи

---

  а) Есть кусок сыра. Разрешается выбрать любое положительное (возможно, нецелое) число  a ≠ 1,  и разрезать этот кусок в отношении  1 : a  по весу, затем разрезать в том же отношении любой из имеющихся кусков, и т. д. Можно ли действовать так, что после конечного числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки равного веса?
  б) Тот же вопрос, но выбирается положительное рациональное  a ≠ 1.

   Решение

---

В некоторых клетках шахматной доски стоят фигуры. Известно, что на каждой горизонтали стоит хотя бы одна фигура, причём в разных горизонталях – разное число фигур. Докажите, что всегда можно отметить 8 фигур так, чтобы в каждой вертикали и каждой горизонтали стояла ровно одна отмеченная фигура.

   Решение

---

На доске записаны в ряд сто чисел, отличных от нуля. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, является произведением двух соседних с ним чисел. Первое число – это 7. Какое число последнее?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 234]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64545

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3

Первый член последовательности равен 934. Каждый следующий равен сумме цифр предыдущего, умноженной на 13.
Найдите 2013-й член последовательности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98361

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Обратный ход ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Последовательность {x_n} определяется условиями:   x_n+2 = x_n – ¹/_xn+1   при  n ≥ 1.
Докажите, что среди членов последовательности найдётся ноль. Найдите номер этого члена.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 104123

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Правило произведения ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

а) Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими способами Леша может подняться по лестнице?
б) При спуске с той же лестницы Леша перепрыгивает через некоторые ступеньки (может даже через все 10). Сколькими способами он может спуститься по этой лестнице?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116925

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

На доске записаны в ряд сто чисел, отличных от нуля. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, является произведением двух соседних с ним чисел. Первое число – это 7. Какое число последнее?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60289

Тема:   [ Рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Числа a₀, a₁,..., a_n,... определены следующим образом:

Найдите и докажите формулу для этих чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 234]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями