Каталог по темам

Выбрано 8 задач

Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, причем сам профессор в разговоре не участвует. Может ли такое быть?

Решение

Основание призмы – квадрат со стороной a . Одна из боковых граней – также квадрат, другая – ромб с углом 60^o . Найдите полную поверхность призмы.

Решение

Заполните свободные клетки "шестиугольника" (см. рисунок) целыми числами от 1 до 19 так, чтобы во всех вертикальных и диагональных рядах сумма чисел, стоящих в одном ряду, была бы одна и та же.

Решение

В прямоугольном треугольнике ABC $\angle$ C = 90^o. На продолжении гипотенузы AB отложен отрезок BD, равный катету BC, и точка D соединена с C. Найдите CD, если BC = 7 и AC = 24.

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

В таблице 10×10 записано 100 различных чисел. За ход можно выбрать любой составленный из клеток прямоугольник и переставить все числа в нём симметрично относительно его центра ("повернуть прямоугольник на 180°"). Всегда ли за 99 ходов можно добиться, чтобы числа возрастали в каждой строке слева направо и в каждом столбце – снизу вверх?

Решение

Автор: Канель-Белов А.Я.

Дана последовательность a_n = 1 + 2ⁿ + ... + 5ⁿ. Существуют ли пять идущих подряд её членов, кратных 2005?

Решение

Выразите через элементарные симметрические многочлены следующие выражения:
а} (x + y)(y + z)(x + z);
б} x³ + y³ + z³ – 3xyz;
в} x³ + y³;
г) (x² + y²)(y² + z²)(x² + z²);
д)
е) x⁴ + y⁴ + z⁴.

Решение

В окружности провели диаметр AB и параллельную ему хорду CD, так, что расстояние между ними равно половине радиуса этой окружности (см. рис.). Найдите угол CAB.

Решение

Задача 64792

Задача 116143

Задача 35425

Задача 52394

Задача 52532