Версия для печати
Убрать все задачи

---

На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.

   Решение

---

Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a⁵ делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 188]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115360

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a⁵ делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79328

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Перебор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Существует ли такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109752

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Найдите все такие нечётные натуральные  n > 1,  что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число  a + b – 1  также является делителем n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109758

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Обыкновенные дроби ] [ Индукция (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, для которых числитель несократимой дроби, равной  1 + ½ + ... + ¹/_n,  не является степенью простого числа с натуральным показателем.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109744

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Найдите все такие натуральные числа n, что для любых двух его взаимно простых делителей a и b число  a + b – 1  также является делителем n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 188]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями