Версия для печати
Убрать все задачи

---

Окружность пересекает каждую сторону ромба в двух точках и делит её на три отрезка. Обойдём контур ромба, начав с какой-нибудь вершины, по часовой стрелке, и покрасим три отрезка каждой стороны последовательно в красный, белый и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих.

   Решение

---

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна , а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60^o . Найдите площадь сечения, проведённого через вершину пирамиды и меньшую диагональ основания.

   Решение

---

Даны точки A(-3;0;1) , B(2;1;-1) , C(-2;2;0) и D(1;3;2) . Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC .

   Решение

---

Найдите площадь трапеции, у которой основания равны 10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

   Решение

---

В тетраэдре ABCD ребро AB перпендикулярно ребру CD , P — произвольная точка пространства. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки O до середин рёбер AC и BD равна сумме квадратов расстояний от точки P до середин рёбер AD и BC .

   Решение

---

Даны окружность O, прямая a, пересекающая её, и точка M. Через точку M провести секущую b так, чтобы её часть, заключённая внутри окружности O, делилась пополам в точке её пересечения с прямой a.

   Решение

---

В вершинах 100-угольника расставлены числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все они равны.

   Решение

---

Докажите, что отображение  w =   является инверсией относительно единичной окружности.

   Решение

---

Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2n+1)-угольнике  (n > 1).  Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109955

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На концах клетчатой полоски размером 1×101 клеток стоят две фишки: слева – фишка первого игрока, справа – второго. За ход разрешается сдвинуть свою фишку в направлении противоположного края полоски на 1, 2, 3 или 4 клетки. При этом разрешается перепрыгивать через фишку соперника, но запрещается ставить свою фишку на одну клетку с ней. Выигрывает тот, кто первым достигнет противоположного края полоски. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его соперник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111844

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Четность и нечетность ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2n+1)-угольнике  (n > 1).  Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109567

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

На столе лежат три кучки спичек. В первой кучке находится 100 спичек, во второй – 200, а в третьей – 300. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди, за один ход игрок должен убрать одну из кучек, а любую из оставшихся разделить на две непустые части. Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105083

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Четность и нечетность ] [ Обход графов ] [ Процессы и операции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Система укреплений состоит из блиндажей. Некоторые из блиндажей соединены траншеями, причём из каждого блиндажа можно перебежать в какой-нибудь другой. В одном из блиндажей спрятался пехотинец. Пушка может одним выстрелом накрыть любой блиндаж. В каждом промежутке между выстрелами пехотинец обязательно перебегает по одной из траншей в соседний блиндаж (даже если по соседнему блиндажу только что стреляла пушка, пехотинец может туда перебежать). Назовём систему надёжной, если у пушки нет гарантированной стратегии поражения пехотинца (то есть такой последовательности выстрелов, благодаря которой пушка поразит пехотинца независимо от его начального местонахождения и последующих передвижений).

  а) Докажите, что система укреплений, изображённая на рисунке, надёжна.
  б) Найдите все надёжные системы укреплений, которые перестают быть надёжными после разрушения любой из траншей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109690

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

В микросхеме 2000 контактов, первоначально любые два контакта соединены отдельным проводом. Хулиганы Вася и Петя по очереди перерезают провода, причем Вася (он начинает) за ход режет один провод, а Петя – либо два, либо три провода. Хулиган, отрезающий последний провод от какого-либо контакта, проигрывает. Кто из них выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями