На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное число (0, 2 или 4) белых клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно окрасить в красный или зелёный цвет так, чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток, соседних с ней по стороне.

   Решение

Пусть a – длина стороны правильного пятиугольника, d – длина его диагонали. Докажите, что  d² = a² + ad.

   Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 402]      

В параллелограмме ABCD на сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём  AM = CN,  Q – точка пересечения отрезков AN и CM.
Докажите, что DQ – биссектриса угла D.

Прислать комментарий

Решение

На диагонали BD параллелограмма ABCD взяты точки A' и C', причём  AA' || CC'.  Точка K принадлежит отрезку A'C, прямая AK пересекает прямую CC' в точке L. Через точку K проведена прямая, параллельная BC, через точку C проведена прямая, параллельная BD. Эти две прямые пересекаются в точке M. Докажите, что точки D, M и L лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

В треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность, касающаяся сторон AC, BC и AB в точках M, K и N соответственно. Через точку K провели прямую, перпендикулярную отрезку MN. Она пересекла катет AC в точке X. Докажите, что  CK = AX.

Прислать комментарий

Решение

Пусть a – длина стороны правильного пятиугольника, d – длина его диагонали. Докажите, что  d² = a² + ad.

Прислать комментарий

Решение

Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, а угол между ними равен . Пусть O₁, O₂, O₃ и O₄ — центры окружностей, описанных соответственно около треугольников AMB, BCM, CDM и DAM. Найдите отношение площадей четырехугольников ABCD и O₁O₂O₃O₄.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 402]