Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 81]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Пусть n – натуральное число. На 2n + 1 карточках написано по ненулевому целому числу; сумма всех чисел также ненулевая. Требуется этими карточками заменить звёздочки в выражении *x2n + *x2n–1 + ... *x + * так, чтобы полученный многочлен не имел целых корней. Всегда ли это можно сделать?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Доказать, что если p/q – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома f(x) с целыми коэффициентами, то p – kq есть делитель числа f(k) при любом целом k.
Вася пишет на доске квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 с натуральными коэффициентами a, b, c. После этого Петя, если хочет, может заменить один или два знака "+" на "–". Если у получившегося уравнения оба корня целые, то выигрывает Вася, если же корней нет или хотя бы один из них нецелый – Петя. Может ли Вася подобрать коэффициенты уравнения так, чтобы наверняка выиграть у Пети?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Существуют ли такие натуральные числа a, b и c, что у каждого из уравнений ax² + bx + c = 0, ax + bx – c = 0, ax² – bx + c = 0,
ax² – bx – c = 0 оба корня – целые?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный многочлен P(x) с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить ему только значения P(2) и P(P(2)). Барон утверждает, что он только по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не ошибается ли барон?
Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 81]
Фильтр
Решение
