Версия для печати
Убрать все задачи
На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или
на их продолжениях) взяты точки C1, A1 и B1 так, что ∠(CC1, AB) = ∠(AA1, BC) = ∠(BB1, CA) = α. Прямые AA1 и BB1, BB1 и CC1, CC1 и AA1 пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает
с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен 2 cos α.
Решение
В правильном десятиугольнике проведены все диагонали. Возле каждой вершины
и возле каждой точки пересечения диагоналей поставлено число +1 (рассматриваются
только сами диагонали, а не их продолжения). Разрешается одновременно изменить
все знаки у чисел, стоящих на одной стороне или на одной диагонали. Можно ли с помощью нескольких таких операций изменить все знаки на противоположные?
Решение
Найдите сумму квадратов расстояний от вершин правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, до произвольной прямой, проходящей через центр многоугольника.
Решение
На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.
Решение
Три ёжика делили три кусочка сыра массами 5 г, 8 г и
11 г. Лиса стала им помогать. Она может от любых двух кусочков
одновременно отрезать и съесть по 1 г сыра. Сможет
ли лиса оставить ёжикам равные кусочки сыра?
Решение
Фильтр
