ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Корни. Степень с рациональным показателем >> Квадратные корни
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Обозначим через S сумму следующего ряда:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... (12.1)

Преобразовав равенство (12.1 ), можно получить уравнение, из которого находится S:

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 - S $\displaystyle \Rightarrow$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$.

Сумму S можно также найти объединяя слагаемые ряда (12.1 ) в пары:

S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0;
S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1.

Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значение S:

S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= - 1 + (1 - 1) + (1 - 1) +...= - 1.

Итак, действуя четырьмя разными способами, мы нашли четыре значения суммы S:

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 0 = 1 = - 1.

Какое же значение имеет сумма S в действительности?

   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 36]      

  с решениями  

Задача 35464

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Докажите, что сумма $\frac {1}{\sqrt {1} + \sqrt {2}} + \frac {1}{\sqrt {2} + \sqrt {3}} + \dots + \frac {1}{\sqrt {99} + \sqrt {100}}$ является целым числом.
Прислать комментарий     Решение

Задача 78174

Тема:   [ Квадратные корни (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10

Даны две бочки бесконечно большой емкости. Можно ли, пользуясь двумя ковшами емкостью 2 - $ \sqrt{2}$ и $ \sqrt{2}$, перелить из одной в другую ровно 1 литр?
Прислать комментарий     Решение

Задача 60871

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

При каких натуральных n число  ( + 1)n – ( – 1)n  будет целым?

Прислать комментарий     Решение

Задача 86505

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Найдите все значения а, для которых выражения   а +   и   1/а –   принимают целые значения.

Прислать комментарий     Решение

Задача 104092

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Иррациональные неравенства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Сравните без помощи калькулятора числа:  .

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 36]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .