ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



Задача 61465

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Квадратные корни (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Докажите, что уравнение   (x + y)4 + (z + t)4 = 2 +   не имеет решений в рациональных числах.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61539

Темы:   [ Задачи-шутки ]
[ Квадратные корни (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

``1 = - 1''. Изучив комплексные числа, Коля Васин решил вывести формулу, которая носила бы его имя. После нескольких попыток ему это удалось:

$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{-1}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{-1}{1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \sqrt{1}$$\displaystyle \sqrt{1}$ = $\displaystyle \sqrt{-1}$$\displaystyle \sqrt{-1}$ $\displaystyle \Rightarrow$ 1 = - 1.

После некоторых размышлений, Коля придумал более короткое доказательство своего тождества:

-1 = i2 = $\displaystyle \sqrt{-1}$ . $\displaystyle \sqrt{-1}$ = $\displaystyle \sqrt{(-1)(-1)}$ = $\displaystyle \sqrt{1}$ = 1.

Не ошибся ли где-нибудь Коля Васин?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108970

Темы:   [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Модуль числа (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Доказать, что выражение

+

равно 2, если 1<= a <= 2 , и равно 2 , если a>2 .
Прислать комментарий     Решение

Задача 61463

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Квадратные корни (прочее) ]
[ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

При возведении числа  1 + в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:
  (1 + )1 = 1 + = + ,   (1 + )2 = 3 + 2 = + ,   (1 + )3 = 7 + 5 = + ,   (1 + )4 = 17 + 12 = + .
Для их изучения определим числа an и bn при помощи равенства  (1 + )n = an + bn,  (n ≥ 0).
  а) Выразите через an и bn число  (1 – )n.
  б) Докажите равенство  
  в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности {an} и {bn}?
  г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для последовательностей {an} и {bn}.
  д) Найдите связь между числами an, bn и подходящими дробями к числу .

Прислать комментарий     Решение

Задача 79260

Темы:   [ Квадратные уравнения. Формула корней ]
[ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Рекуррентные соотношения ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Дано число  A = ,  где M – натуральное число большее 2.
Доказать, что найдётся такое натуральное k, что  A = .

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .