n красных и n синих точек, строго чередуясь, разделили окружность на 2n дуг так, что каждые две смежные из них имеют различную длину. При этом длины каждой из этих дуг равны одному из трёх чисел: a, b или c. Докажите, что n-угольник с красными вершинами и n-угольник с синими вершинами имеют равные периметры и равные площади.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]      

Даны две пересекающиеся плоскости, в одной из которых лежит произвольный треугольник площади S.
Существует ли его параллельная проекция на вторую плоскость, имеющая ту же площадь S?

Прислать комментарий

Решение

Плоскость пересекает ребра AB, AC, DC и DB тетраэдра ABCD в точках M, N, P и Q соответственно, причем AM : MB = m, AN : NC = n, DP : PC = p. Найдите отношение BQ/QD.

Прислать комментарий

Решение

а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это. (Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)

б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это.

в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это.

г) Докажите, что в задаче б) можно выбрать три ломаные, никакие две из которых не имеют общих вершин, за исключением точек А и В.

Прислать комментарий

Решение

Верно ли, что для любых четырёх попарно скрещивающихся прямых можно так выбрать по одной точке на каждой из них, чтобы эти точки были вершинами а) трапеции, б) параллелограмма?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]