ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98543
Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

n красных и n синих точек, строго чередуясь, разделили окружность на 2n дуг так, что каждые две смежные из них имеют различную длину. При этом длины каждой из этих дуг равны одному из трёх чисел: a, b или c. Докажите, что n-угольник с красными вершинами и n-угольник с синими вершинами имеют равные периметры и равные площади.


Решение

Пусть среди дуг, на которые разделена окружность имеется k дуг длины a, l дуг длины b и m дуг длины c. Дуги, на которые разбивают окружность красные точки, могут иметь длины  a + b,  a + c  и  b + c.  Обозначим их количества через x, y и z. Тогда, очевидно, выполняются равенства  x + y = k,  x + z = l,
y + z = m
.  Решив эту систему, получим выражения для x, y и z через k, l и m. Те же самые значения мы получим и для многоугольника с вершинами в синих точках. Поскольку равные дуги стягиваются равными хордами, наборы длин сторон "красного" и "синего" многоугольников равны (различие может быть лишь в порядке их следования). Значит, периметры многоугольников равны. Кроме того, многоугольники можно дополнить одинаковыми наборами сегментов до круга. Значит, их площади также равны.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2001/2002
Номер 23
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .