Задача 86942

Темы:    [ Построения на проекционном чертеже ] [ Параллельное проектирование (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Плоскость пересекает ребра AB, AC, DC и DB тетраэдра ABCD в точках M, N, P и Q соответственно, причем AM : MB = m, AN : NC = n, DP : PC = p. Найдите отношение BQ/QD.

Решение

Если прямая NP параллельна прямой AD, то NP параллельна плоскости ABD. В этом случае секущая плоскость пересекает плоскость ABD по прямой MQ, параллельной прямой NP, поэтому BQ : QD = BM : MA = 1 : m.

Пусть теперь прямая NP пересекает прямую AD в точке T, лежащей на продолжении ребра AD за точку D. Тогда прямая MT пересекает ребро BD в точке Q.

Рассмотрим плоскость треугольника ADC. Через вершину C проведем прямую, параллельную AD. Пусть L - точка пересечения этой прямой с прямой NP. Из подобия треугольников CLP и DTP следует, что

CL = DT ^. CP/PD = DT/p,

а из подобия треугольников CLN и ATN -

AT = CL ^. AN/NC = CL ^. n = DT ^. n/p.

Рассмотрим теперь плоскость треугольника ABD. Через вершину B проведем прямую, параллельную AD, и продолжим TM до пересечения с этой прямой в точке E. Из подобия треугольников AMT и BME находим, что

BE = AT ^. BM/AM = AT/m,

а из подобия треугольников TQD и EQB -

BQ/QD = BE/DT = (AT/m)/DT = (DT ^. n/(pm))/DT = n/(mp).

Ответ

n/(mp).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7119