Алиса и Базилио играют в следующую игру; из мешка, первоначально содержащего 1331 монету, они по очереди берут монеты, причем первый ход делает Алиса и берет 1 монету, а далее при каждом следующем ходе игрок берет (по своему усмотрению) либо столько же монет, сколько взял другой игрок последним ходом, либо на одну больше. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход по правилам. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш независимо от ходов другого?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]      

Число n называется совершенным, если  σ(n) = 2n.
Докажите, что если  2^k – 1 = p  – некоторое простое число Мерсенна, то  n = 2^k–1(2^k – 1)  – совершенное число.

Прислать комментарий

Решение

  Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если  σ(m) – m = n  и  σ(n) – n = m.
  Докажите, что если все три числа  p = 3·2^k–1 – 1,  q = 3·2^k – 1  и  r = 9·2^2k–1 – 1  – простые, то числа  m = 2^kpq  и  n = 2^kr  – дружественные. Постройте примеры дружественных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что число 11...1 (1986 единиц) имеет по крайней мере
  а) 8;  б) 32 различных делителя.

Прислать комментарий

Решение

Пусть τ(n) – количество положительных делителей натурального числа n. Решите уравнение  a = 2τ(a).

Прислать комментарий

Решение

Петя нашел сумму всех нечётных делителей некоторого чётного числа (включая 1), а Вася – сумму всех чётных делителей этого же числа (включая само число). Может ли произведение двух найденных чисел быть точным квадратом?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]