Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите равенства
  а)  [1, 2,..., 2n] = [n + 1, n + 2, ..., 2n];
  б)  (a₁, a₂, ..., a_n) = (a₁, (a₂, ..., a_n));
  в)  [a₁, a₂, ..., a_n] = [a₁, [a₂, ..., a_n]].

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 277]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 35134

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В строку выписано m натуральных чисел. За один ход можно прибавить по единице к некоторым n из этих чисел.
Всегда ли можно сделать все числа равными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60483

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что если в наборе целых чисел a₁, ..., a_n хотя бы одно отлично от 0, то они имеют наибольший общий делитель.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60484

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В прямоугольнике с целыми сторонами m и n, нарисованном на клетчатой бумаге, проведена диагональ.
  а) Через какое число узлов она проходит?
  б) На сколько частей эта диагональ делится линиями сетки?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60487

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В задаче 60274 доказана возможность деления с остатком произвольного целого числа a на натуральное число b.
Докажите, что из равенства  a = bq + r  следует соотношение  (a, b) = (b, r).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60488  [Алгоритм Евклида]

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Алгоритм Евклида ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

  а) Пусть m₀ и m₁ – целые числа,  0 < m₁ ≤ m₀.  Докажите, что при некотором  k > 1  существуют такие целые числа a₀, a₁, ..., a_k и m₂, ..., m_k, что
m₁ > m₂ > m₃ > ... > m_k > 0,  a_k > 1,
  m₀ = m₁a₀ + m₂,
  m₁ = m₂a₁ + m₃,
  m₂ = m₃a₂ + m₄,
    ...
  m_k–2 = m_k–1a_k–1 + m_k,
  m_k–1 = m_ka_k,
и  (m₀, m₁) = m_k.

  б) Докажите, что для любого s от  k – 1  до 0 существуют такие числа u_s, v_s, что   m_su_s + m_s+1v_s = d,   где  d = (m₀, m₁).
  В частности, для некоторых u и v выполняется равенство  m₀u + m₁v = d.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 277]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями