Задача 35134

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В строку выписано m натуральных чисел. За один ход можно прибавить по единице к некоторым n из этих чисел.
Всегда ли можно сделать все числа равными?

Подсказка

Если числа m и n имеют общий делитель  d > 1,  то сумма выписанных чисел всегда будет иметь один и тот же остаток от деления на d.

Решение

Пусть числа m и n имеют общий делитель  d > 1,  а сумма выписанных вначале чисел на d не делится. При прибавлении по единице к некоторым n из этих чисел сумма всех чисел увеличивается на n. Поскольку n делится на d, сумма выписанных чисел всегда будет иметь один и тот же остаток от деления на d, следовательно, сумма всех чисел никогда не будет делиться на d. Если же в некоторый момент все m чисел станут равными, то сумма всех чисел разделится на m и, следовательно, на d.

Ответ

Не всегда.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача