Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]

Задача 111923

Темы:	[	Производная и кратные корни	]
Темы:	[	Производная и экстремумы	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Автор: Сергеев И.Н.

Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём меняется в зависимости от времени t по закону

h(t)=at²+bt+c,
а в момент t₀ окончания слива выполнены равенства h(t₀)=h'(t₀)=0 . За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?

Решение

Так как h'(t₀)=0 и h(t₀)=0 , то a0 (в противном случае функция h была бы нулевой, и уровень воды в бассейне, вопреки условию задачи, не мог бы понизиться), а абсцисса и ордината вершины параболы y=h(t) равны соответственно t₀ и 0, поэтому

h(t)=a(t-t₀)², t t₀.
Обозначив через T искомое время полного слива бассейна, из условия задачи имеем

и, учитывая, что T>1 , окончательно получаем T=2+ .
Комментарий. Из законов физики известно, что функция y=h(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
y'=-k, k>0,
которое описывает высоту уровня жидкости в сосуде, имеющем отверстие в своём дне. Решением этого уравнения как раз и служит указанная в задаче квадратичная функция (до момента полного вытекания жидкости).

Ответ

2+ .

Прислать комментарий

Задача 61019

Темы:	[	Производная и кратные корни	]
Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), который имеет те же корни, что и P(x), но все кратности 1. Положим Q(x) = (P(x), P'(x)) и R(x) = P(x)Q^–1(x). Докажите, что
а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);
б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.

Решение

Из равенства P(x) = R(x)Q(x) следует, что все корни многочлена R будут корнями P.
С другой стороны, пусть a – корень кратности n многочлена P, то есть P(x) = (x – a)ⁿS(x), где S(x) не делится на x – a.
P'(x) = (x – a)ⁿS'(x) + n(x – a)^n–1S(x). Таким образом, P'(x), а значит, и Q(x) делится на (x – a)^n–1, но не на (x – a)ⁿ. Теперь из равенства
P(x) = R(x)Q(x) следует, что R(x) делится на x – a, но не на (x – a)². Это и значит, что все корни P являются корнями R, а R не имеет кратных корней.

Прислать комментарий

Задача 61020

Темы:	[	Производная и кратные корни	]
Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Постройте многочлен R(x) из задачи 61019, если:
а) P(x) = x⁶ – 6x⁴ – 4x³ + 9x² + 12x + 4;
б) P(x) = x⁵ + x⁴ – 2x³ – 2x² + x + 1.

Решение

а) P'(x) = 6x⁵ – 24x³ – 12x² + 18x + 12 = 6(x⁵ – 4x³ – 2x⁵ + 3x + 2). Применяя алгоритм Евклида, находим, что
Q(x) = НОД(P(x), P'(x)) = x⁴ + x³ – 3x² – 5x – 2, а R(x) = ^P(x)/_Q(x) = x² – x – 2.

б) Первый способ. P'(x) = 5x⁴ + 4x³ – 6x² – 4x + 1. Q(x) = НОД(P(x), P'(x)) = x³ + x² – x – 1, а R(x) = ^P(x}/_Q(x) = x² – 1.
Второй способ. x⁵ + x⁴ – 2x³ – 2x² + x + 1 = (x⁵ – 2x³ + x) + (x⁴ – 2x² + 1) = (x + 1)(x² – 1)² = (x + 1)³(x – 1)². Следовательно,
R(x) = (x + 1)(x – 1).

Ответ

а) x² – x – 2; б) x² – 1.

Прислать комментарий

Задача 61025

Тема:

[

Производная и кратные корни

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что при n > 0 многочлен nxⁿ⁺¹ – (n + 1)x ⁿ + 1 делится на (x – 1)².

Решение

См. задачу 61022.

Прислать комментарий

Задача 64410

Тема:

[

Производная и кратные корни

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что при n > 0 многочлен P(x) = n²xⁿ⁺² – (2n² + 2n – 1)xⁿ⁺¹ + (n + 1)²xⁿ – x – 1 делится на (x – 1)³.

Решение

P(1) = n² – (2n² + 2n – 1) + (n + 1)² – 2 = 0,
P'(1) = (n + 2)n² – (n + 1)(2n² + 2n – 1) + n(n + 1)² – 1 = n² – (n + 1)(n² + 2n + 1) + 2(n + 1) + n(n + 1)² – 1 = n² – (n + 1)² + 2n + 1 = 0,
P"(1) = (n + 2)(n + 1)n² – n(n + 1)(2n² + 2n – 1) + n(n – 1)(n + 1)² = n(n + 1)((n + 2)n – (2n² + 2n – 1) + n² – 1) = 0.
Это и значит, что P(x) делится на (x – 1)³.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]