В стране 2000 городов. Каждый город связан беспосадочными двусторонними авиалиниями с некоторыми другими городами, причём для каждого города число исходящих из него авиалиний есть степень двойки (то есть 1, 2, 4, 8, ...). Для каждого города A статистик подсчитал количество маршрутов, имеющих не более одной пересадки, связывающих A с другими городами, а затем просуммировал полученные результаты по всем 2000 городам. У него получилось 100000. Докажите, что статистик ошибся.

   Решение

Пусть AA₁ — медиана треугольника ABC. Докажите, что угол A острый тогда и только тогда, когда AA₁ > BC.

   Решение

В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 64]      

В остроугольном треугольнике ABC высота AD, медиана BE и биссектриса CF пересекаются в точке O. Найдите ∠C,  если OE = 2OC.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC биссектриса AD, высота BE и медиана CF пересекаются в точке O. Найдите ∠A, если  AF = OF  и  ∠A > 60°.

Прислать комментарий

Решение

Может ли сумма тангенсов углов одного треугольника равняться сумме тангенсов углов другого, если один из этих треугольников остроугольный, а другой тупоугольный?

Прислать комментарий

Решение

Укажите все выпуклые четырёхугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

Прислать комментарий

Решение

Правильный (4k+2)-угольник вписан в окружность радиуса R с центром O.
Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом   A_kOA_k+1 на прямых   A₁A_2k, A₂A_2k–1, ..., A_kA_k+1,  равна R.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 64]