Задача 57071

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

Правильный (4k+2)-угольник вписан в окружность радиуса R с центром O.
Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом   A_kOA_k+1 на прямых   A₁A_2k, A₂A_2k–1, ..., A_kA_k+1,  равна R.

Решение 1

  Для  k = 3  решение задачи ясно из рисунка.

  В самом деле,  A₃A₄ = OQ,  KL = QP  и  MN = PA₁₄,  поэтому  A₃A₄ + KL + MN = OQ + QP + PA₁₄ = OA₁₄ = R.
  Доказательство проводится аналогично и для любого k.

Решение 2

Пусть     Указанные отрезки – основания равнобедренных треугольников с углом при вершине и высотами R sin φ, R sin 2φ, ..., R sin kφ.  Их сумма (согласно задаче 61123) б) равна

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	6
Название	Правильные многоугольники
Тема	Правильные многоугольники
задача
Номер	06.058