На доске написаны четыре трёхзначных числа, в сумме дающие 2012. Для записи их всех были использованы только две различные цифры.
Приведите пример таких чисел.

   Решение

На плоскости расположены три окружности Ω₁, Ω₂, Ω₃ радиусов r₁, r₂, r₃ соответственно – каждая вне двух других, причём  r₁ > r₂  и   r₁ > r₃. Из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω₁ и Ω₂ проведены касательные к окружности Ω₃, а из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω₁ и Ω₃ проведены касательные к окружности Ω₂. Докажите, что последние две пары касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и найдите её радиус.

   Решение

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

В треугольной призме ABCA1B1C1 точки M и N – середины боковых рёбер BB1 и CC1 . Через точку O пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые MN и AB1 в точках P и Q соответственно. Найдите отношение PQ:OQ .

Прислать комментарий

Решение

На боковых рёбрах AA1 , BB1 и CC1 треугольной призмы ABCA1B1C1 расположены соответственно точки M , N и P так, что AM:AA1= B1N:BB1=C1P:CC1=3:4 . На отрезках CM и A1N расположены соответственно точки E и F так, что EF || B1P . Найдите отношение EF:B1P .

Прислать комментарий

Решение

В треугольной призме ABCA1B1C1 точка M – середина бокового ребра AA1 . На диагоналях AB1 и BC1 боковых граней расположены соответственно точки E и F так, что EF || CM . Найдите отношение EF:CM .

Прислать комментарий

Решение

В треугольной призме ABCA1B1C1 точки M и N – середины боковых рёбер AA1 и CC1 соответственно. На отрезках CM и AB1 расположены соответственно точки E и F так, что EF || BN . Найдите отношение EF:BN .

Прислать комментарий

Решение

На диагоналях AB1 и CA1 боковых граней треугольной призмы ABCA1B1C1 расположены соответственно точки E и F так, что EF || BC1 . Найдите отношение EF:BC1 .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]