ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116672
Темы:    [ Ребусы ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске написаны четыре трёхзначных числа, в сумме дающие 2012. Для записи их всех были использованы только две различные цифры.
Приведите пример таких чисел.


Решение

Первый способ.  2012 = 503 + 503 + 503 + 503.  Заменив ноль пятёркой, мы увеличим сумму на 200; для компенсации заменим одну из пятёрок в разряде сотен на тройку:  2012 = 353 + 553 + 553 + 553.

Второй способ. Попытаемся найти два числа, записывающихся двумя цифрами и в сумме дающих  2012 : 2 = 1006.  Из разряда десятков должен происходить перенос, поэтому сумма цифр в разряде сотен без этого переноса должна равняться 9. Значит, в этом разряде присутствуют обе неизвестные цифры, и их сумма равна 9. С другой стороны, сумма цифр в разряде единиц оканчивается на 6. Поэтому либо эта сумма равна 6 и получена как  3 + 3  при второй цифре 6 (но тогда мы не сможем получить сумму 10 в разряде десятков), либо равна 16 и получена как  8 + 8  при второй цифре 1. Отсюда получаем представления  1006 = 118 + 888 = 188 + 818;
2012 = 118 + 888 + 118 + 888 = 188 + 818 + 188 + 818 = 118 + 888 + 188 + 818.


Ответ

2012 = 353 + 553 + 553 + 553 = 118 + 118 + 888 + 888 = 118 + 188 + 818 + 888 = 188 + 188 + 818 + 818.

Замечания

Полное решение. Пусть в записи наших чисел использовались цифры a и b, причём  a < b.  Вычтем из каждого из наших чисел число 111a. Получившиеся числа будут состоять тоже только из двух цифр - 0 и  c = b – a.  Тем самым, их можно представить как произведение c на число, записывающееся только цифрами 0 и 1. Сумма получившихся чисел равна  2012 – 444·a;  деля эту сумму на c, мы видим, что каждая цифра частного    не превосходит 4. Теперь решение можно найти перебором: подходят только пары  a = 3,  c = 2  (q = 340,  b = 5)  и  a = 1,  c = 7
(q = 224, b = 8).  Всевозможными способами расставляя по разрядам найденные цифры в задаваемом q количестве, мы приходим к четырём указанным в ответе представлениям.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 75
Год 2012
класс
Класс 8
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .