ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 55782
УсловиеНа плоскости расположены три окружности S1, S2, S3 радиусов r1, r2, r3 соответственно — каждая вне двух других, причём r1 > r2 и r1 > r3. Из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям S1 и S2 проведены касательные к окружности S3, а из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям S1 и S3 проведены касательные к окружности S2. Докажите, что последние две пары касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и найдите её радиус.
ПодсказкаПримените гомотетию.
РешениеПусть O1, O2, O3 — центры окружностей S1, S2, S3 соответственно; A — точка пересечения общих внешних касательных к окружностям S1 и S3, B — к окружностям S1 и S2 (рис.1). Поскольку точка пересечения общих внешних касательных к двум окружностям является их центром гомотетии, то четвёртая окружность должна быть гомотетичной окружности S2 с центром гомотетии A и окружности S3 с центром гомотетии B. Поэтому её центр O должен лежать на пересечении отрезков AO2 и BO3. Докажем теперь существование такого числа r, что окружность S с центром O и радиусом r гомотетична S2 с центром гомотетии A (т.е. = ) и одновременно гомотетична S3 с центром гомотетии B (т.е. = ), и найдём число r. Через точку A проведём прямую, параллельную O1B, до пересечения с прямой BO3 в точке T (рис.2). Из подобия треугольников AO3T и O1O3B следует, что
AT = BO1 . ,
а из подобия треугольников AOT и O2OB —
= = = . = . .
Поэтому
= = = = .
Отсюда находим, что
r = .
Ту же самую величину мы получим и при втором способе
нахождения r — из соотношения
=
(в этом случае r2 и r3 просто поменяются местами). Тем самым утверждение задачи
доказано.
Ответ.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|