ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



Задача 66740

Темы:   [ Шестиугольники ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Расстояние от некоторой точки внутри правильного шестиугольника до трёх его последовательных вершин равны 1, 1 и 2 соответственно.
Чему равна сторона этого шестиугольника?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66741

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что  $a^{n+1} + b^{n+1}$  делится на  $a^n+b^n$  для бесконечного множества различных натуральных $n$. Обязательно ли тогда  $a = b$?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66744

Темы:   [ Деление с остатком. Арифметика остатков ]
[ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 2019. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равна 40. Какое наибольшее количество чисел могло быть выписано?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66745

Темы:   [ Логика и теория множеств (прочее) ]
[ Кооперативные алгоритмы ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Король вызвал двух мудрецов и объявил им задание: первый задумывает семь различных натуральных чисел с суммой 100, тайно сообщает их королю, а второму мудрецу называет лишь четвёртое по величине из этих чисел, после чего второй должен отгадать задуманные числа. У мудрецов нет возможности сговориться. Могут ли мудрецы гарантированно справиться с заданием?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66752

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

На экране компьютера напечатано некоторое натуральное число, кратное 7, и отмечен курсором промежуток между какими-то двумя его соседними цифрами.
Докажите, что существует такая цифра, что если её впечатать в отмеченный промежуток любое число раз, получится число, делящееся на 7.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .