Версия для печати
Убрать все задачи

---

Учительница продиктовала Вовочке угловые коэффициенты и свободные члены трёх разных линейных функций, графики которых параллельны. Невнимательный Вовочка при записи каждой из функций поменял местами угловой коэффициент и свободный член и построил графики получившихся функций. Сколько могло получиться точек, через которые проходят хотя бы два графика?

   Решение

---

а) Разбейте отрезок  [0, 1]  на чёрные и белые отрезки так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам.
(Приращением многочлена p по отрезку  (a, b)  называется число  p(b) – p(a).)

б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?

 

   Решение

---

Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R,  — угол между его диагоналями. Докажите, что площадь S четырехугольника ABCD равна  2R²sin A sin B sin.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65224

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC высота AH проходит через середину медианы BM.
Докажите, что в треугольнике BMC также одна из высот проходит через середину одной из медиан.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65225

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Квадрат ABCD и равносторонний треугольник MKL расположены так, как это показано на рисунке. Найдите угол PQD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65226

Темы:   [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC на сторонах AC, BC и AB отметили точки D, E и F соответственно, так, что  AD = AB,  EC = DC,  BF = BE.  После этого стёрли всё, кроме точек E, F и D. Восстановите треугольник ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65230

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

У двух трапеций соответственно равны углы и диагонали. Верно ли, что такие трапеции равны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65231

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прямая l перпендикулярна одной из медиан треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую l в трёх точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями