Страница:
<< 1 2 3
4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача
64629
(#10.4)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
На стороне AB треугольника ABC выбраны точки C1 и C2. Аналогично на стороне BC выбраны точки A1 и A2, а на стороне AC – точки B1 и B2. Оказалось, что отрезки A1B2, B1C2 и C1A2 имеют равные длины, пересекаются в одной точке, и угол между каждыми двумя из них равен 60°. Докажите, что 
.
Задача
64637
(#11.4)
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM), ∠(LMB, LMN), ∠(MNC, MNK) и ∠(NKD, NKL) равны. (Через ∠(PQR, PQS) обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.
Задача
64622
(#9.5)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Число x таково, что среди четырёх чисел 
ровно одно не является целым.
Найдите все такие x.
Задача
64630
(#10.5)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
На доске написано уравнение x³ + *x² + *x + * = 0. Петя и Вася по очереди заменяют звёздочки на рациональные числа: вначале Петя заменяет любую из звёздочек, потом Вася – любую из двух оставшихся, а затем Петя – оставшуюся звёздочку. Верно ли, что при любых действиях Васи Петя сможет получить уравнение, у которого разность каких-то двух корней равна 2014?
Задача
64638
(#11.5)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Числа x, y и z таковы, что все три числа x + yz, y + zx и z + xy рациональны, а x² + y² = 1. Докажите, что число xyz² также рационально.
Страница:
<< 1 2 3
4 5 >> [Всего задач: 24]
Фильтр
