ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



Задача 116584  (#9.6)

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Числа a и b таковы, что   a³ – b³ = 2,  a5b5 ≥ 4.   Докажите, что  a² + b² ≥ 2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116592  (#10.6)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Разложение на множители ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Петя выбрал натуральное число  a > 1  и выписал на доску пятнадцать чисел  1 + a,  1 + a²,  1 + a³,  ...,  1 + a15.  Затем он стёр несколько чисел так, что каждые два оставшихся числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116600  (#11.6)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

В волейбольном турнире с участием 73 команд каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В конце турнира все команды разделили на две непустые группы так, что каждая команда первой группы одержала ровно n побед, а каждая команда второй группы – ровно m побед. Могло ли оказаться, что  mn?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116760  (#9.6)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Точки A1, B1, C1 выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB1AC1 = CA1CB1 = BC1BA1.  Пусть IA, IB и IC – центры окружностей, вписанных в треугольники AB1C1, A1BC1 и A1B1C, соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника IAIBIC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116768  (#10.6)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, большие 1010, что их произведение делится на любое из них, увеличенное на 2012?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .