ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 110024  (#00.4.11.1)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа  a1, a2, ..., a10,  что уравнение
(x – a1)(x – a2)...(x – a10) = (x + a1)(x + a2)...(x + a10)  будет иметь ровно пять различных действительных корней.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110025  (#00.4.11.2)

Темы:   [ Цилиндр ]
[ Покрытия ]
[ Шар и его части ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Высота и радиус основания цилиндра равны 1. Каким наименьшим числом шаров радиуса 1 можно целиком покрыть этот цилиндр?
Прислать комментарий     Решение


Задача 110026  (#00.4.11.3)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Последовательность a1, a2,..,a2000 действительных чисел такова, что для любого натурального n , 1 n2000 , выполняется равенство

a13+a23+..+an3=(a1+a2+..+an)2.

Докажите, что все члены этой последовательности – целые числа.
Прислать комментарий     Решение

Задача 110034  (#00.4.11.4)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Замятин В.

При каком наименьшем n квадрат n×n можно разрезать на квадраты 40×40 и 49×49 так, чтобы квадраты обоих видов присутствовали?

Прислать комментарий     Решение

Задача 110027  (#00.4.11.5)

Темы:   [ Неравенство Коши ]
[ Иррациональные неравенства ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Храбров А.

Для неотрицательных чисел x и y, не превосходящих 1, докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .