Этапы:
-
Региональный этап
(27 задач)
Заключительный этап
(21 задача)
Фильтр
Задачи
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]
Набор пятизначных чисел {N1 , Nk} таков, что любое
пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы в
одном разряде хотя бы с одним их чисел N1 , Nk .
Найдите наименьшее возможное значение k .
Окружности σ 1 и σ 2 пересекаются в точках A и
B . В точке A к σ 1 и σ 2 проведены
соответственно касательные l1 и l2 .
Точки T1 и T2 выбраны соответственно на окружностях σ 1 и σ 2
так, что угловые меры дуг T1A и AT2 равны (величина дуги окружности считается по часовой стрелке).
Касательная t1 в точке T1 к окружности σ 1 пересекает l2 в точке M1 .
Аналогично, касательная t2 в точке T2 к окружности
σ 2 пересекает l1 в точке M2 .
Докажите, что середины отрезков M1M2 находятся на одной прямой,
не зависящей от положения точек T1 , T2 .
Даны натуральные числа p<k<n . На бесконечной клетчатой плоскости отмечены
некоторые клетки так, что в любом прямоугольнике (k+1)×n ( n клеток
по горизонтали, k+1 – по вертикали) отмечено ровно p клеток. Докажите, что
существует прямоугольник k×(n+1) (где n+1 клетка по горизонтали, k – по
вертикали), в котором отмечено не менее p+1 клетки.
В языке жителей Банановой Республики количество слов превышает количество букв в
их алфавите. Докажите, что найдется такое натуральное k , для которого можно выбрать
k различных слов, в записи которых используется ровно k различных букв.
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]
Задача 110155 (#04.4.10.5) |
|
|
Уравнение xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an = 0 с целыми ненулевыми коэффициентами имеет n различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа an–1 и an взаимно просты.
|
|
Решение |
Задача 110156 (#04.4.10.6) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 110157 (#04.4.10.7) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 110158 (#04.4.10.8) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 110147 (#04.4.11.1) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]
