Страница: 1
2 >> [Всего задач: 6]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Про действительные числа a, b, c известно, что (a + b + c)c < 0. Докажите, что b² – 4ac > 0.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Найдите все такие пары натуральных чисел x, y, что числа x³ + y и y³ + x делятся на x² + y².
Две окружности пересекаются в точках
P и
Q . Третья
окружность с центром в точке
P пересекает первую в точках
A и
B , а вторую – в точках
C и
D (см.рисунок).
Докажите что углы
AQD и
BQC равны.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Кузнечик прыгает по отрезку [0,1]. За один прыжок он может попасть
из точки x либо в точку x/31/2, либо в точку
x/31/2+(1-(1/31/2)). На отрезке [0,1] выбрана точка a.
Докажите, что, начиная из любой точки, кузнечик может через несколько
прыжков оказаться на расстоянии меньше 1/100 от точки a.
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 6]
Фильтр
