Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть P(x) – многочлен нечётной степени. Докажите, что уравнение  P(P(x)) = 0  имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение  P(x) = 0.

   Решение

---

Куб со стороной 20 разбит на 8000 единичных кубиков, и в каждом кубике записано число. Известно, что в каждом столбике из 20 кубиков, параллельном ребру куба, сумма чисел равна 1 (рассматриваются столбики всех трёх направлений). В некотором кубике записано число 10. Через этот кубик проходит три слоя 1×20×20, параллельных граням куба. Найдите сумму всех чисел вне этих слоёв.

   Решение

---

Докажите, что при n = 4 среди полученных частей есть четырехугольник.

   Решение

---

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

   Решение

---

Докажите, что среди четырехугольников с заданными длинами диагоналей и углом между ними наименьший периметр имеет параллелограмм.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 88166  (#11.1)

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Четность и нечетность ] [ Арифметика. Устный счет и т.п. ] [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Дети держат в руках флажки. Тех, у кого в обеих руках поровну флажков, в 5 раз меньше, чем тех, у кого не поровну. Когда каждый ребёнок переложил по одному флажку из одной руки в другую, тех, у кого в обеих руках поровну флажков, стало в 2 раза меньше, чем тех, у кого не поровну. Могло ли быть так, что в начале более чем у половины детей в одной руке было ровно на один флажок меньше, чем в другой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98650  (#11.2)

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

В каждой комнате особняка стояли букеты цветов. Всего было 30 букетов роз, 20 – гвоздик и 10 – хризантем, причём, в каждой комнате стоял хотя бы один букет. При этом ровно в двух комнатах стояли одновременно и хризантемы, и гвоздики, ровно в трёх комнатах – и хризантемы, и розы, ровно в четырёх комнатах – и гвоздики, и розы. Могло ли в особняке быть 55 комнат?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98651  (#11.3)

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Раскладки и разбиения ] [ Перебор случаев ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3- Классы: 6,7,8

Любую ли сумму из целого числа рублей больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98652  (#11.4)

Тема:   [ Отношения площадей подобных фигур ]

Сложность: 2 Классы: 6,7

Население Китая составляет один миллиард человек. Казалось бы, на карте Китая с масштабом 1 : 1000000 (1 см : 10 км) сможет поместиться в миллион раз меньше людей, чем находится на всей территории страны. Однако на самом деле не только 1000, но даже 100 человек не смогут разместиться на этой карте. Можете ли Вы объяснить это противоречие?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98653  (#11.5)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причём возраст каждого ребенка – простое число.
Сколько лет младшему?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями