ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 98327  (#1)

Темы:   [ Раскраски ]
[ Куб ]
[ Наглядная геометрия в пространстве ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет и четыре другие – в синий так, чтобы плоскость, проходящая через любые три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98328  (#2)

Темы:   [ Произведения и факториалы ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

а) Докажите для всех n > 2 неравенство    

б) Найдите какие-нибудь такие натуральные числа a, b, c, что для всех  n > 2  

Прислать комментарий     Решение

Задача 98329  (#3)

Темы:   [ Шестиугольники ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть A', B', C', D', E', F' – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF. Известны площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98330  (#4)

Темы:   [ Итерации ]
[ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Докажите, что не существует никакой (даже разрывной) функции  y = f(x),  для которой  f(f(x)) = x² – 1996  при всех x.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98331  (#5)

Темы:   [ Четность перестановки ]
[ Обход графов ]
[ Перестройки ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Фомин С.В.

  а) Четыре порта 1, 2, 3, 4 расположены (в этом порядке) на окружности круглого острова. Их связывает плоская сеть дорог, на которых могут быть перекрёстки, то есть точки, где пересекаются, сходятся или разветвляются дороги. На всех участках дорог введено одностороннее движение так, что, выехав от любого порта или перекрёстка, нельзя вернуться в него снова. Пусть  fij  означает число различных путей, идущих из порта i в порт j. Докажите неравенство   f14f23f13f24.
  б) Докажите, что если портов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (по кругу в этом порядке), то   f16f25f34 + f15f24f36 + f14f26f35f16f24f35 + f15f26f34 + f14f25f36.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .