Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 >> [Всего задач: 27]
Задача
108114
(#М1543)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9
|
В плоскости выпуклого четырёхугольника ABCD расположена точка P.
Проведены биссектрисы PK,PL, PM и PN треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно.
а) Найдите хотя бы одну такую точку P, для которой четырёхугольник
KLMN – параллелограмм.
б) Найдите все такие точки.
Задача
98290
(#М1544)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия
а) из 11,
б) из 10000,
в) из бесконечного числа натуральных чисел,
такая что последовательность сумм цифр её членов – также возрастающая
арифметическая прогрессия?
Задача
98280
(#М1545)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Есть доска 1×1000, вначале пустая, и куча из n фишек. Двое ходят по очереди. Первый своим ходом "выставляет" на доску не более 17 фишек по одной на любое свободное поле (он может взять все 17 из кучи, а может часть – из кучи, а часть – переставить на доске). Второй снимает с доски любую серию фишек (серия – это несколько фишек, стоящих подряд, то есть без свободных полей между ними) и кладёт их обратно в кучу. Первый выигрывает, если ему удастся выставить все фишки в ряд без пробелов.
а) Докажите, что при n = 98 первый всегда может выиграть.
б) При каком наибольшем n первый всегда может выиграть?
Задача
98309
(#М1546)
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) угол A равен α. На стороне AB взята точка D так, что AD = AB/n. Найдите сумму n – 1 углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих сторону BC на n равных частей:
а) при n = 3;
б) при произвольном n.
Задача
107802
(#М1547)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
a) Восемь школьников решали восемь задач. Оказалось, что каждую задачу решили пять школьников. Докажите, что найдутся такие два школьника, что каждую задачу решил хотя бы один из них.
б) Если каждую задачу решили четыре ученика, то может оказаться, что таких двоих не найдётся.
Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 >> [Всего задач: 27]
Фильтр
