Задача 108114

Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Токарев С.И.

В плоскости выпуклого четырёхугольника ABCD расположена точка P. Проведены биссектрисы PK,PL, PM и PN треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно.
  а) Найдите хотя бы одну такую точку P, для которой четырёхугольник KLMN – параллелограмм.
  б) Найдите все такие точки.

Решение

  Пользуясь свойством биссектрисы треугольника, заметим, что если  AP = PC,  то  AK : KB = AP : PB = CP : PB = CL : AC,  и, значит,  KL || AC.  Аналогично  MN || AC.  Таким образом, если в качестве P взять точку пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям AC и BD, то есть так, что  AP = CP  и  BP = DP,  то  KL || AC || MN  и  LM || BD || KN .  Следовательно, KLMN – параллелограмм.

  Других таких точек в плоскости четырёхугольника ABCD нет. В самом деле, пусть  AP > CP.  Тогда  ^AK/_KB = ^AP/_PB > ^CP/_PB = ^CL/_AC,  поэтому точка K отрезка AB расположена от прямой AC дальше, чем L. Аналогично, точка N расположена от прямой AC дальше, чем M. Таким образом, если провести из точек K и N прямые, параллельные AC, то отрезки KL и MN будут идти между этими прямыми, приближаясь к AC, и не могут быть параллельны друг другу.

Замечания

Баллы: 3 + 2

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6464
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1995/1996
Номер	17
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	1
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1996
выпуск
Номер	2
Задача
Номер	М1543