Пусть p – простое число и  p > 3.
  а) Докажите, что если разрешимо сравнение  x² + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то  p ≡ 1 (mod 6).
  б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  6k + 1.

   Решение

На сторонах AD и DC выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки P и Q так, что ABP = CBQ. Отрезки AQ и CP пересекаются в точке E. Докажите, что ABE = CBD.

   Решение

Окружность с центром D проходит через вершины A, B и центр O вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся его стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

   Решение

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 188]      

На поле 10 на 10 для игры в "Морской Бой" стоит один четырехпалубный корабль. Какое минимальное число выстрелов надо произвести, чтобы наверняка его ранить?

Прислать комментарий

Решение

На всех ребрах куба стоит по числу. На каждой грани (квадрате) пишется сумма четырех чисел, расположенных на ее ребрах (сторонах квадрата).  Расставьте числа 1 и -1 на ребрах так, чтобы все числа на гранях были различны.

Прислать комментарий

Решение

(Продолжение задачи 32792)
Путешественник, попавший в государство, встретил четырех людей из задачи 3 и задал им вопрос:"Кто вы?".   Он получил такие ответы:
1-ый: "Все мы лжецы".
2-ой: "Среди нас 1 лжец".
3-ий: "Среди нас 2 лжеца".
4-ый: "Я ни разу не соврал и сейчас не вру".
Путешественник быстро сообразил, кем является четвертый житель. Как он это сделал?

Прислать комментарий

Решение

В нижнем левом углу шахматной доски 8 на 8 стоит фишка. Двое по очереди передвигают её на одну клетку вверх, вправо или вправо-вверх по диагонали.  Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний угол. Кто победит при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

Федя К. вышел из некоторой точки, прошел 1км на север, затем - 1км на восток, затем - 1км на юг и вернулся в исходную точку.
  а) Где такое могло произойти?
  б) Найдите все такие точки на Земле.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 188]