Информация о задаче

Задача 57797

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AD и DC выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки P и Q так, что $\angle$ ABP = $\angle$ CBQ. Отрезки AQ и CP пересекаются в точке E. Докажите, что $\angle$ ABE = $\angle$ CBD.

Решение

Пусть (x : y : z) — трилинейные координаты относительно треугольника ABC. Из равенства $\angle$ ABP = $\angle$ CBQ следует, что точки P и Q имеют трилинейные координаты вида (p : u : q) и (q : v : p). Прямые AP и CQ задаются уравнениями y : z = u : q и x : y = q : v, поэтому их точка пересечения D имеет трилинейные координаты $\left(\vphantom{\frac{1}{v}: \frac{1}{q}:\frac{1}{u}}\right.$ ${\frac{1}{v}}$ : ${\frac{1}{q}}$ : ${\frac{1}{u}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{v}: \frac{1}{q}:\frac{1}{u}}\right)$ . Прямые AQ и CP задаются уравнениями y : z = v : p и x : y = p : u, поэтому их точка пересечения E имеет трилинейные координаты $\left(\vphantom{\frac{1}{u}: \frac{1}{p}:\frac{1}{v}}\right.$ ${\frac{1}{u}}$ : ${\frac{1}{p}}$ : ${\frac{1}{v}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{u}: \frac{1}{p}:\frac{1}{v}}\right)$ . Из вида трилинейных координат точек D и E следует, что $\angle$ CBD = $\angle$ ABE.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	6
Название	Трилинейные координаты
Тема	Трилинейные координаты
задача
Номер	14.040