Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]

Задача 32092 (#01)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 2
Классы: 5,6,7

В каждой клетке прямоугольной таблицы размером M×K написано число. Сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 1.
Докажите, что M = K.

Решение

Найдём сумму всех чисел таблицы двумя способами. Поскольку таблица содержит M строк и сумма чисел каждой строки равна 1, то вся сумма равна M. Аналогично, считая эту же сумму по столбцам, получим в результате K.

Прислать комментарий

Задача 32093 (#02)

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
Темы:	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]

Сложность: 3
Классы: 5,6,7,8

В круге отметили точку. Разрежьте круг на а) три; б) две части так, чтобы из них можно было составить новый круг, у которого отмеченная точка будет в центре.

Решение

a) Нужно вырезать из круга два маленьких равных кружка – один с центром в центре круга, а другой с центром в отмеченной точке, и затем поменять эти кружки местами.

б) Линия разреза – дуга того же радиуса, что и у данного круга, с центром в отмеченной точке (см. рис.).

Прислать комментарий

Задача 97977 (#03)

Темы:	[	Задачи на смеси и концентрации	]
Темы:	[	Обыкновенные дроби	]

Сложность: 2
Классы: 6,7,8

Автор: Фольклор

Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше чем доля блондинов среди всех людей.
Что больше: доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?

Решение

Пусть l – число всех людей, g – число голубоглазых, b – число блондинов, a – число голубоглазых блондинов. По условию ^a/_g > ^b/_l. Умножив это неравенство на ^g/_b, получим ^a/_b > ^g/_l.

Ответ

Доля голубоглазых среди блондинов.

Прислать комментарий

Задача 32095 (#04)

Темы:	[	Обход графов	]
Темы:	[	Наглядная геометрия	]

Сложность: 2+
Классы: 5,6,7,8

Можно ли нарисовать эту картинку (см. рис.), не отрывая карандаша от бумаги и проходя по каждой линии по одному разу?

Решение

Пронумеруем три квадрата, из которых состоит фигура. Начнём рисовать первый квадрат с любой его точки до тех пор, пока не дойдём до точки пересечения со вторым квадратом. Затем прерываем обход первого квадрата и рисуем второй до тех пор, пока не дойдём до его точки пересечения с третьим. Затем рисуем полностью третий квадрат, окончив дорисовываем второй, затем – первый. Каждый раз мы будем оканчивать рисовать квадрат в той же точке, в которой начинали, то есть в точке пересечения с предыдущим квадратом.

Ответ

Можно.

Прислать комментарий

Задача 32096 (#05)

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 3-
Классы: 6,7,8,9

Прямая раскрашена в два цвета.
Докажите, что на ней найдутся такие три точки A, B и C, окрашенные в один цвет, что точка B является серединой отрезка AC.

Решение

Рассмотрим на прямой две произвольные точки X и Y одного цвета, а также точку X₁, симметричную X относительно Y, точку Y₁, симметричную Y относительно X и середину O отрезка XY (см. рис.). Если хотя бы одна из этих точек окрашена в тот же цвет, что и точки X и Y, то она вместе с ними образует искомую тройку. Если все эти три точки окрашены в другой цвет, то тогда они будут искомой тройкой.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]