Задача 32096
|
|
 |
Условие
Прямая раскрашена в два цвета.
Докажите, что на ней найдутся такие три точки A, B и C, окрашенные в один цвет, что точка B является серединой отрезка AC.
Решение
Рассмотрим на прямой две произвольные точки X и Y одного цвета, а также точку X1, симметричную X относительно Y, точку Y1, симметричную Y относительно X и середину O отрезка XY (см. рис.). Если хотя бы одна из этих точек окрашена в тот же цвет, что и точки X и Y, то она вместе с ними образует искомую тройку. Если все эти три точки окрашены в другой цвет, то тогда они будут искомой тройкой.
Замечания
Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.
