Пусть числа  y₀, y₁, ..., y_n  таковы, что для любого многочлена  f (x) степени  m < n  справедливо равенство:       (*)
Докажите, что    ,   где λ – некоторое фиксированное число.

   Решение

Даны четыре окружности  S₁, S₂, S₃ и S₄, причем окружности S_i и S_{i + 1} касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S₅ = S₁). Докажите, что радикальная ось окружностей S₁ и S₃ проходит через точку пересечения общих внешних касательных к S₂ и S₄.

   Решение

Биссектриса AE угла A рассекает четырехугольник ABCD на равнобедренный треугольник ABE(AB = BE) и ромб AECD. Радиус круга, описанного около треугольника ECD, в 1,5 раза больше радиуса круга, вписанного в треугольник ABE. Найдите отношение периметров этих треугольников.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 104]      

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Третья окружность с центром P пересекает первую окружность в точках A и B, а вторую — в точках C и D. Докажите, что AQD = BQC.

Прислать комментарий

Решение

Шестиугольник ABCDEF вписанный, причем  AB || DE и  BC || EF. Докажите, что  CD || AF.

Прислать комментарий

Решение

Многоугольник  A₁A₂...A_2n вписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при n нечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при n четном оставшаяся пара сторон равна по длине.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки A, B и C. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окружностях.

Прислать комментарий

Решение

На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке. M — середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и MD с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD — вписанный четырехугольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 104]