Информация о задаче

Задача 52992

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Биссектриса AE угла A рассекает четырехугольник ABCD на равнобедренный треугольник ABE(AB = BE) и ромб AECD. Радиус круга, описанного около треугольника ECD, в 1,5 раза больше радиуса круга, вписанного в треугольник ABE. Найдите отношение периметров этих треугольников.

Подсказка

Обозначьте $\angle$ BAE = $\angle$ EAD = $\angle$ ECD = $\angle$ AEB = 2 $\alpha$ и составьте уравнение относительно $\alpha$ .

Решение

Обозначим AE = x, $\angle$ BAE = 2 $\alpha$ . Тогда DC = EC = x, $\angle$ EAD = $\angle$ ECD = = $\angle$ AEB = 2 $\alpha$ . Пусть r - радиус окружности, вписанной в треугольник ABE. Тогда r = (x/2)^.tg $\alpha$ . Пусть R - радиус окружности, описанной около треугольника ECD. Тогда

R = EC/(2^.sin $\displaystyle \angle$ EDC) = x/(2^.sin(90^o - $\displaystyle \alpha$ )) = x/(2^.cos $\displaystyle \alpha$ ).

По условию задачи

R/r = 3/2,т.е.x/(2^.cos $\displaystyle \alpha$ ) = (x/2)^.tg $\displaystyle \alpha$ ^.(3/2).

Тогда

tg $\displaystyle \alpha$ ^.cos $\displaystyle \alpha$ = 2/3, sin $\displaystyle \alpha$ = 2/3, cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{5}$ /3, cos 2 $\displaystyle \alpha$ = 1/9.

В треугольнике ABEAB = BE = x/(2^.cos 2 $\alpha$ ) = 9x/2. Поэтому его периметр равен 9x/2 + 9x/2 + x = 10x.

В треугольнике ECDDE = 2x^.sin $\alpha$ = 4x/3. Поэтому его периметр равен x + x + 4x/3 = 10x/3.

Следовательно, отношение периметров равно 10x/(10x/3) = 3.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	659