Страница:
<< 5 6 7 8 9 10
11 >> [Всего задач: 53]
Задача
61244
(#08.083)
|
|
Сложность: 3 Классы: 9,10
|
Теорема
синусов. Докажите, что из равенств
следует:
a = b cos + c cos, |
b = c cos + a cos, |
c = a cos + b cos. |
|
(8.4) |
Задача
61245
(#08.084)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 9,10
|
Покажите, что из соотношений (
8.4) и
дополнительных условий
0 <
<
,
0 <
<
,
0 <
<
,
a > 0,
b > 0,
c > 0 следуют равенства (
8.3
).
Задача
61246
(#08.085)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 9,10
|
Теорема
косинусов.
Докажите, что
соотношения (
8.4
) равносильны системе
a2 = b2 + c2 - 2bc cos, |
b2 = a2 + c2 - 2ac cos, |
c2 = a2 + b2 - 2ab cos, |
|
(8.5) |
то есть из существования равенств (
8.4
)
вытекает существование равенств (
8.5
) и наоборот.
Задача
61247
(#08.086)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 10,11
|
Теорема синусов и первая теорема косинусов
для трехгранного угла.
Пусть имеется
трехгранный угол с плоскими углами
,
,
и
противолежащими им двугранными углами
A,
B,
C. Для него
справедлива теорема синусов (
8.7
) и две теоремы
косинусов (
8.6
), (
8.8) (смотрите ниже). После того,
как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены
путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической
природы задачи и предположим, что просто даны равенства
cos = coscos + sinsincos A, |
cos = coscos + sinsincos B, |
cos = coscos + sinsincos C, |
|
(8.6) |
и, кроме того, величины
,
,
и
A,
B,
C заключены между 0 и
. Докажите, что
Задача
61248
(#08.087)
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Вторая теорема косинусов для трехгранного
угла и аналог формулы Герона.
Докажите,
что из системы (
8.6
) следуют равенства
cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos, |
cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos, |
cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos, |
tg = , |
|
(8.8) |
где
2
p =
+
+
.
Страница:
<< 5 6 7 8 9 10
11 >> [Всего задач: 53]