Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 53]

Задача 61249 (#08.088)

Тема:

[

Тождественные преобразования (тригонометрия)

]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Формулы Рамануджана. Докажите следующие тождества:
а) $\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{7}}$ + $\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{7}}$ + $\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{7}}$ = $\sqrt[3]{\dfrac{5-3\sqrt[3]7}{2}}$ ;
б) $\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{9}}$ + $\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{9}}$ + $\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{9}}$ = $\sqrt[3]{\dfrac{3\sqrt[3]9-6}{2}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61250 (#08.089)

Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть

u_k = $\displaystyle {\dfrac{\sin2nx\cdot\sin(2n-1)\cdot x\ldots\cdot\sin(2n-k+1)x}{\sin kx\cdot\sin(k-1)x\cdot\ldots\cdot\sin x}}$ .

Докажите, что числа u_k можно представить в виде многочлена от cos x.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61251 (#08.090)

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Пусть числа u_k определены как и в предыдущей задаче. Докажите тождества:

а) 1 - u₁ + u₂ - u₃ +...+ u_2n = 2ⁿ(1 - cos x)(1 - cos 3x)...(1 - cos(2n - 1)x);

б) 1 - u₁² + u₂² - u₃² +...+ u_2n² = (- 1)ⁿ ${\dfrac{\sin(2n+2)x\cdot \sin(2n+4)x\cdot\ldots \cdot\sin4nx}{\sin 2nx\cdot\sin2(n-1)x\cdot\ldots\cdot\sin 2x}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 53]