Версия для печати
Убрать все задачи

---

Окружность, построенная на биссектрисе AD треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC соответственно в точках M и N, отличных от A. Докажите, что  AM = AN.

   Решение

---

Докажите, что площадь любой грани тетраэдра меньше суммы площадей трёх остальных его граней.

   Решение

---

Докажите, что для любого натурального  n ≥ 2  справедливо неравенство:   .

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97918

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.
Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97919

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Правило произведения ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Клетки шахматной доски 8×8 как-то занумерованы числами от 1 до 32, причём каждое число использовано дважды. Докажите, что можно так выбрать 32 клетки, занумерованные разными числами, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали найдётся хотя бы по одной выбранной клетке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97937

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Иррациональные неравенства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что для любого натурального  n ≥ 2  справедливо неравенство:   .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108021

Темы:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Найдите геометрическом место ортоцентров (точек пересечения высот) всевозможных треугольников, вписанных в данную окружность.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108023

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Дан равносторонний треугольник ABC. Из его внутренней точки M опущены перпендикуляры MA', MB', MC' на стороны.
Найдите геометрическое место точек M, для которых треугольник A'B'C' – прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями